ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ  ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

α) Εφαρμογή.  Αν ο όγκος V ενός θερμαινόμενου κύβου πλευράς x αυξάνεται σύμφωνα με τον τύπο V=f(x)=x3   ο ρυθμός μεταβολής του όγκου για x=x0   είναι   ίσος   με f’(xo)=3x2o.                                     ΄Ετσι η ταχύτητα με την οποία μεταβάλλεται ο όγκος ενός κύβου πλευράς 1 είναι 3.1=3,  ενώ όταν ο κύβος έχει πλευρά 2, η ταχύτητα με την οποία μεταβάλλεται ο όγκος τους τετραπλασιάζεται, γίνεται 3.4=12.   

β) Εφαρμογή.
 Αν Q(t) είναι η συνάρτηση που εκφράζει το φορτίο που διέρχεται από μία κάθετη τομή ενός αγωγού τη χρονική στιγμή t, τότε η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει τον αγωγό τη χρονική στιγμή t0 θα δίνεται από την παράγωγο  Q΄(t0 ).                     
Άσκηση
΄Ενας αγωγός διαρρέεται τη χρονική στιγμή t, από ηλεκτρικό φορτίο Q(t)=2-2ημ(3t+5).  Να υπολογισθεί η ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος τη, χρονική στιγμή t, που διαρρέει τον αγωγό.

γ) Εφαρμογή.  Αν W(t) είναι η συνάρτηση που εκφράζει την ενέργεια που καταναλώνεται από μία ηλεκτρική αντίσταση τη χρονική στιγμή t, τότε η ισχύς P(t) της αντίστασης τη χρονική στιγμή to , δίνεται από την παράγωγο W΄(to).                             
Άσκηση
Η κατανάλωση ενεργειας ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα, τη χρονική στιγμή t, είναι W(t)=3ημ(6t+2).ημ(2t+10).  Να υπολογισθεί η ισχύς του, τη χρονική στιγμή t.

δ) Εφαρμογή.  Αν θεωρήσουμε ένα σώμα που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και συμβολίσουμε με J(t) το μέτρο της ορμής του τη χρονική στιγμή t, τότε το μέτρο της δυνάμεως που κινεί το σώμα είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της ορμής τη χρονική στιγμή to   , και θα δίνεται από την παράγωγο J΄(to ).          
Άσκηση
 Η ορμή ενός σώματος τη χρονική στιγμή t, δίνεται από τον τύπο J(t)= 10gt2   .  Να υπολογισθεί η δύναμη που κινεί το σώμα.  

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:
1)  ΄Ενα έμβολο μιας ντηζελομηχανής κινείται βάσει του τύπου S(t)=3-2ημt.  α) Να υπολογισθεί η ταχύτητα του εμβόλου για κάθε χρονική στιγμή t.  β) Να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές, κατά τις οποίες η ταχύτητα του εμβόλου γίνεται μηδέν. γ) Να βρεθεί η δύναμη F(t) του εμβόλου, εάν η μάζα του είναι m=50. δ) Να βρεθεί η ορμή j(t) του εμβόλου, την χρονική στιγμή t (το έμβολο κινείται οριζόντια)   ε) Η κινητική ενεργεία W(t) του εμβόλου.                                   (Υπόδειξη,       γ) )

2)  Η θέση ενός εμβόλου μιας ντηζελομηχανής δίνεται από τον τύπο S(t)=5ημ(10t) όπου t  χρόνος.  α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του εμβόλου ως συνάρτηση του χρόνου.  β) Να δείξετε ότι, όταν η επιτάχυνση γίνει 0, τότε το μέτρο της ταχύτητας παίρνει τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή.

3) Πλοίο κινείται (σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) συνάρτηση του χρόνου t,  ως προς τον άξονα τον x με τύπο   και ως προς τον άξονα y με τον τύπο  .  Ζητείται η συνάρτηση πλεύσης του πλοίου και η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή  t=1sec. (Υπόδειξη,        )

4) ΄Εστω    η συνάρτηση κίνησης ενός εμβόλου ντηζελομηχανής μάζας 500.  Ζητούνται η ταχύτητα, η επιτάχυνση , η δύναμη F(t) του εμβόλου τη χρονική στιγμή   (το έμβολο κινείται οριζόντια) και η κινητική ενεργεία  W(t) του εμβόλου. (Υπόδειξη,      

5)  Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων η κίνηση πλοίου δίνεται από τις σχέσεις x=t3 και  .  Να βρεθεί η συνάρτηση πλεύσης και η ταχύτητά του για t=5sec. . (Υπόδειξη,        )

6)  Δεξαμενή πλοίου έχει κωνικό σχήμα και θέλουμε να τη βυθίσουμε στη θάλασσα.  Η παροχή θάλασσας κατά τη βύθιση της δεξαμενής είναι 10m3/sec  αλλά λόγω προβλημάτων της έχουμε διαρροή θάλασσας (απώλειες) 2m3/sec.  Το ύψος της δεξαμενής είναι 40m και η βάση της έχει ακτίνα 15m. Nα υπολογισθεί η ταχύτητα ανυψώσεως της επιφάνειας της θάλασσας εντός της δεξαμενής (που ταυτίζεται με την ταχύτητα βύθισης της δεξαμενής) κατά τη χρονική στιγμή που η επιφάνεια της θάλασσας εντός της δεξαμενής βρίσκεται στα 2/3 του ύψους της δεξαμενής. (Υπόδειξη

7)   Σε ναυπηγείο, ένας γερανός, εβρισκόμενος επί της παραλίας και σε ύψος 3m πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, σύρει με συρματόσχοινο πλοίο, με ταχύτητα 0,6 m/sec. Με ποια ταχύτητα, το πλοίο, πλησιάζει την παραλία την στιγμή που το μήκος του συρματόσχοινου είναι 5 m ;  (Υπόδειξη  Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε            )