ΜΕΓΙΣΤΑ – ΕΛΑΧΙΣΤΑ

A)	KΡΙΤΗΡΙΟ  (ΤΗΣ  ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ)
B)	ΚΡΙΤΗΡΙΟ 
1)	Εύρεση ριζών της πρώτης παραγώγου (f΄(x)=0, ρίζα x0  )
2)	α) Αν f΄΄(x0)<0, τότε τοπικό μέγιστο στο f(x0)
 β) Αν f΄΄(x0)>0, τότε τοπικό ελάχιστο στο f(x0)
 
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1) Η απόσταση s(t) που διανύει ένα σώμα που εκτοξεύεται σε επίπεδο κατακόρυφο στο χρόνο t, δίνεται από τον τύπο  s(t)=120t-5t2 .  Βρείτε το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το σώμα και τον απαιτούμενο χρόνο.

2) Το άθροισμα δυο θετικών αριθμών είναι 20. Βρείτε τους αριθμούς αν το γινόμενο είναι μέγιστο.(Υποδειξη,   x+y=20,    f(x,y)=x.y )

3) Η πορεία ενός πλοίου δίνεται από τον τύπο  y=1-x2 .  Ποια η ελάχιστη απόσταση που θα βρεθει από φάρο με συντεταγμένες( 0,0)
 (Υποδειξη,      ,φαρος  (x2,y2)=(0,0)       )
                                        
4) Η ισχύς που παράγεται από ένα ηλεκτρικό στοιχείο ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε και σταθερής εσωτερικής αντίστασης r, όταν περνάει σταθερό ρεύμα δια μέσου μιας εξωτερικής αντίστασης R είναι  E2R/(r+R)2 .  Δείξτε ότι η ισχύς αυτή γίνεται μέγιστη όταν το R=r. (Υποδειξη,         )

5) Η κατανάλωση σκάφους όταν κινείται με ταχύτητα x  Km/h δίνεται από τον τύπο f(x)=(x/25)+(100/x).  Σε ποια ταχύτητα παρουσιάζει την οικονομικότερη κατανάλωση.

6) Μια δεξαμενή πλοίου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τις δύο έδρες του τετράγωνα πλευράς x. Αν η δεξαμενή πρόκειται να κατασκευαστεί από λαμαρίνα συνολικού εμβαδού 24 να βρείτε τις διαστάσεις της δεξαμενής, έτσι ώστε αυτή να χωράει τη μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα νερού. (Υποδειξη,   24=2x2+4xy ,   V(x,y)=x2y )

7) Να αποδείξετε ότι απ΄όλες τις επιφάνειες σχήματος, ορθογωνίου, με εμβαδόν 400, το τετράγωνο, έχει τη μικρότερη περίμετρο.  (Υποδειξη,  400=xy , f(x,y)=2x+2y  )

8) Με συρματόπλεγμα μήκους 80 , θέλουμε να περιφράξουμε επιφάνεια σχήματος ορθογωνίου.  Να βρείτε τις διαστάσεις της επιφάνειας που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό.
(Υποδειξη,  f(x,y)=xy ,      80=2x+2y  )

9)  H ισχύς  Ρ  μιας ντηζελομηχανής δίνεται συνάρτηση του αριθμού των στροφών της ανά λεπτό από το μοντέλο    
Να βρεθούν 
α) Η μεγίστη ισχύς της ντηζελομηχανής
β) Ο αριθμός των στροφών της ντηζελομηχανής στη μέγιστη ισχύ της.
(Σημείωση: ο αριθμός των στροφών της μηχανής αναφέρεται σε χιλιάδες ανά λεπτό, ο αριθμός της ισχύος αναφέρεται σε εκατοντάδες).
 12.   Η κατανάλωση σε λίτρα ανά 100 χιλιόμετρα ενός κινητήρα , όταν αυτός λειτουργεί ,με  x χιλιάδες στροφές ανά λεπτό , δίνεται από την συνάρτηση           όπου    
α) Να βρείτε την τιμή του x για την οποία έχουμε την μικρότερη κατανάλωση , καθώς επίσης και πόση είναι  η κατανάλωση αυτή . 
β) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης του αυτοκινήτου για x =2 και για x=4 ;

13) Ένα υποβρύχιο βυθίζεται  σε μια χρονική στιγμή t1=0 , και αναδύεται στην επιφάνεια της θάλασσας την χρονική στιγμή t2=3 αν η πορεία που ακολούθησε, επαληθεύει την  συνάρτηση f(t)=t3-3t2 να βρεθεί το μέγιστο βάθος που έφθασε.

                                                                                                                                   ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ  Π.  ΧΑΔΑΛΗΣ