ΡΥΘΜΟΣ  ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
OΡΙΣΜΟΣ    Αν δυο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y=f(x),  όταν  f  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο xo  , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y  ως προς το x,  στο σημείο  xo     την παράγωγο  f΄(x0).
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1)  Αερόστατο για να πλησίαση το έδαφος, αρχίζει να μειώνει τον όγκο του, χάνοντας αέριο, από την θεωρητικά σφαιρική, μορφή του .  Η ακτίνα του, που ελαττώνεται, δίνεται από τον τύπο  r=4-t2  ,  όπου t ο χρόνος σε sec.  Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας  Ε  και του όγκου  V  του αεροστάτου, όταν t=1sec.(Υποδειξη ,  V=(4/3)πr3 ,
Ε=4πr2)
2)  Ο όγκος V ενός σφαιρικού μπαλονιού που φουσκώνει, για την ανέλκυση βυθισμένου σκάφους αυξάνεται με ρυθμό  100cm3  /sec. Mε ποιο ρυθμό αυξάνεται η ακτίνα του  r  τη χρονική στιγμή  t0   ,   που αυτή είναι ίση με 9cm.     (Υποδειξη ,  )
3)  Αν η επιφάνεια, ενός σφαιρικού μπαλονιού, που φουσκώνει, για την ανέλκυση βυθισμένου σκάφους, αυξάνεται με ρυθμό 10cm2  /sec,  να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του, όταν  r=85cm. .(Υποδειξη ,  V=(4/3)πr3 ,
Ε=4πr2)
4)  Από μια δεξαμενή βυθισμένου πλοίου διαρρέει πετρέλαιο.  Ο όγκος του πετρελαίου, σε λίτρα, που απομένει στη δεξαμενή,  t ώρες μετά την έναρξη της διαρροής, δίνεται από τον τύπο  V(t)=10.(20-t)3  .  1) Να βρείτε το ρυθμό μειώσεως του όγκου του καυσίμου στη δεξαμενή μετά από τρεις ώρες και μετά από πέντε ώρες.  2) Να υπολογίσετε το πόσο χρόνο θα αδειάσει η δεξαμενή.  3) Να υπολογίσετε το ρυθμό μειώσεως του όγκου του καυσίμου στη δεξαμενή μία ώρα πριν αυτή αδειάσει.

4) Ο όγκος  του πετρελαίου,  σε  λίτρα, που  απομένει  στη  δεξαμενή καυσίμων πλοίου,  t  ώρες μετά την έναρξη της διαρροής, δίνεται από τον τύπο  V(t)=5.(50-t)2.                                                                         1) Να  βρείτε  τον  ρυθμό  μειώσεως  του  όγκου  του  καυσίμου  στη δεξαμενή  μετά  από  δέκα  ώρες  και  μετά  από  τριάντα  ώρες.                  2) Να  υπολογίσετε  για  πόσο  χρόνο  θα  έχει  καύσιμα  η  μηχανή.            3) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μειώσεως του όγκου του  καυσίμου στη δεξαμενή , δέκα  ώρες  πριν  αυτή  αδειάσει.                                              4)Πόσα λίτρα καυσίμου υπήρχαν στη δεξαμενή όταν άρχισε η διαρροή;
ΥΠΟΔΕΙΞΗ  (παράγωγος)              
5)Ο όγκος  του πετρελαίου,  σε  λίτρα, που  απομένει  στη  δεξαμενή καυσίμων πλοίου,  t  ώρες μετά τον απόπλου, δίνεται από τον τύπο  V(t)=3(80.000-8.t) .1) Να  βρείτε  τον  ρυθμό  της κατανάλωσης,  του  καυσίμου,  του πλοίου  . 2) Να  υπολογίσετε  για  πόσο  χρόνο  θα  έχει  καύσιμα  το πλοίο. 4)Πόσα λίτρα καυσίμου υπήρχαν στη δεξαμενή όταν άρχισε ο απόπλους του πλοίου.                                                  

6)Δύο πλοία Α και Β αναχωρούν συγχρόνως από ένα λιμάνι Λ. Το πλοίο Α κινείτε ανατολικά με ταχύτητα 15km/h και το Β βόρεια με ταχύτητα 20km/h.   1) Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσεως των Α και Β.    2) Να αποδείξετε ότι η απόστασή τους αυξάνεται με σταθερό ρυθμό τον οποίο και να προσδιορίσετε. (Υποδειξη ,  εστω ω(t)=15.t  θεση του Α,και z(t)=20.t θεση του Β, τοτε η αποσταση των πλοιων είναι                Αρα      
 ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΔΑΛΗΣ  ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ